Question

【题目】如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．

问题发现：

当时，_____；当时，_____．

拓展探究：

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

问题解决：

当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小没有变化；（3）BD的长为：．

【解析】

（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．

（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．

解：（1）①当α=0°时，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC=，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴AE=AC=5，BD=BC=4，

∴．

②如图1，当α=180°时，

可得AB∥DE，

∵，

∴．

故答案为：①；②.

（2）如图2，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如图3，连接BD，

∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE=AB=3，

∴AE=AD+DE=，

由（2），可得：，

∴BD=；

②如图4，连接BD，

∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE=AB=3，

∴AE=AD-DE=，

由（2），可得：，

∴BD=AE=．

综上所述，BD的长为：．