Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B?C?的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC'是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）作CN⊥x轴于点N。
在Rt△CNA和Rt△AOB中
∵NC＝OA＝2，AC＝AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB
则AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限，
∴d＝-3
（2）设反比例函数为，点C'和B'在该比例函数图像上，
设C'（E，2），则B'（E＋3，1）
把点C'和Ｂ'的坐标分别代入，
得k＝2E；k＝E＋3，
∴2E＝E＋3，E＝3，则k＝6，
反比例函数解析式为。
得点C'（3，2）；B'（6，1）。
设直线C'B'的解析式为y＝ax＋b，把C'、B'两点坐标代入
得
∴解之得：；
∴直线C'B'的解析式为。

（3）设Q是G C'的中点，由G（0，3），C'（3，2），
得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为2＋＝，
∴Q（，）
过点Q作直线l与x轴交于M'点，与的图象交于P'点，  
若四边形P'G M' C'是平行四边形，则有P'Q＝Q M'，
易知点M'的横坐标大于，点P'的横坐标小于
作P'Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P'H与QK交于点E，
作QF⊥x轴于点F，则△P'EQ≌△QFM'
设EQ＝FM'＝t，
则点P'的横坐标x为，点P'的纵坐标y为，点M'的坐标是（，0）
∴P'E＝。  
由P'Q＝QM'，得P'E²＋EQ²＝QF²＋FM'²，
∴
整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）  
∴；；。
得P'（，5），M'（，0），则点P'为所求的点P，点M'为所求的点M。