Question

（2013•东营）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用顶点式写出二次函数解析式，进而得出a的值，得出解析式即可；
（2）首先得出△AOB∽△CDA，进而得出y与x之间的函数关系，即可得出点C的坐标，根据PH=

1

2

（OB+CD）求出P点坐标即可；
（3）首先设点N的坐标为（t，-

1

4

t²+t-1），得出S△BCN=S△BMN+S△CMN=

1

2

MN×10，求出直线BC的解析式，进而表示出M点坐标，即可得出△BCN与t的函数关系式，求出最值即可．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
由抛物线过B（0，-1）得：4a=-1，
∴a=-

1

4

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

(x-2)2．
即y=-

1

4

x2+x-1．

（2）如图1，设C的坐标为（x，y）．
∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴

OB

AD

=

OA

CD

∴OB•CD=OA•AD．
即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵点C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由

y=-2x+4 y=- 1 4 x2+x-1

，
解得

x1=10 y1=-16

，

x2=2 y2=0

．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C的坐标为 （10，-16），
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH=

1

2

（OB+CD）=

17

2

．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-

17

2

）．
故点P坐标为（5，-

17

2

）．

（3）如图2，设点N的坐标为（t，-

1

4

t²+t-1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M．
S△BMN=

1

2

MN•t，S△CMN=

1

2

MN•(10-t)，
所以S△BCN=S△BMN+S△CMN=

1

2

MN×10，
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，-1）、C （10，-16），
所以

b=-1 10k+b=-16

成立，
解得：

k=- 3 2 b=-1

，
所以直线BC的解析式为y=-

3

2

x-1，则点M的坐标为（t，-

3

2

t-1），
MN=(-

1

4

t2+t-1)-(-

3

2

t-1)=-

1

4

t2+

5

2

t，
S△BCN=

1

2

(-

1

4

t2+

5

2

t)×10，
=-

5

4

t2+

25

2

t
=-

5

4

(t-5)2+

125

4

，
所以，当t=5时，S_△BCN有最大值，最大值是

125

4

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知利用数形结合得出是解题关键．