Question

18．如图，已知动点P在函数y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）的图象上运动，PM丄x轴于点M，PN丄y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1交于点E，F，求AF•BE的值．

Answer 1

分析 由点P（a，$\frac{1}{2a}$），求出点 F、E坐标，然后利用勾股定理用a表示AF，BE，即可求出AF•BE．

解答 解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，$\frac{1}{2a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，$\frac{1}{2a}$），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-$\frac{1}{2a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-$\frac{1}{2a}$，
∴F点的坐标为（1-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
同理可得出E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（1-1+$\frac{1}{2a}$）²+（$\frac{1}{2a}$）²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$•2a²=1，即AF•BE=1．

点评 本题考查反比例函数的有关性质、一次函数的有关性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．