Question

Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，点F在射线CB上，射线FD交射线CA于点H，点E在边AB上，连接CE，FH交线段CE于点G且BE•CH=CD•CB．

（1）如图1，求证：FH⊥CE；
（2）若BC=2BF，探索线段AD，BE，BD之间的数量关系．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明

BE

CD

=

CB

CH

，∠ACD=∠B，得到△CDH∽△BEC，进而得到∠CDF=∠DEC，即可解决问题．
（2）证明△EAC∽△CDF，得到DC•AC=EA•CF；证明△BDC∽△CDA，得到DC•AC=BC•AD，进而得到EA•CF=BC•AD，

EA

AD

=

BC

CF

=2，即可解决问题．

解答： 解：（1）如图1，
∵∠C=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠B，
∴∠ACD=∠B；
∵BE•CH=CD•CB，
∴

BE

CD

=

CB

CH

，
∴△CDH∽△BEC，
∴∠HDC=∠CEB，∠CDF=∠DEC；
∵∠CDF+∠GDE=90°，
∴∠DEC+∠GDE=90°，
∴FH⊥CE．
（2）如图1，∵∠CAE=∠FCD，∠CDF=∠AEC，
∴△EAC∽△CDF，
∴

EA

DC

=

AC

CF

，
∴DC•AC=EA•CF；
∵∠C=90°，CD⊥AB于点D，
∴△BDC∽△CDA，
∴

BC

AC

=

CD

AD

，
∴DC•AC=BC•AD，
∴EA•CF=BC•AD，
∴

EA

AD

=

BC

CF

=2，
∴BD=

1

2

AD+BE；
当点F在CB的延长线上时，
同理可求：BD=BE-

1

2

AD．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用相似三角形的判定及其性质．