题目内容
【题目】下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，∠C＝90°．
求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．
作法：如图，
①分别以A，C为圆心，大于
AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．
所以线段DE就是所求作的中位线．
根据小宇设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，
∵PA＝PC，QA＝ ，
∴PQ是AC的垂直平分线（ ）（填推理的依据）．
∴E为AC中点，AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．
∴∠ABC＝∠DCB（ ）（填推理的依据）．
∴DB＝DC．
∴AD＝BD＝DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．
【答案】（1）详见解析；（2）QC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，等角的余角相等
【解析】
（1）作线段AC的垂直平分线PQ，交AB于D，交AC于E．
（2）根据写好的证明过程，由垂直平分线定理，直角三角形的性质把缺失的条件或者依据补充完整即可.
解：（1）如图线段DE即为所求．
（2）连接PA，PC，QA，QC，DC，
∵PA＝PC，QA＝QC，
∴PQ是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴E为AC中点，AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．
∴∠ABC＝∠DCB（等角的余角相等），
∴DB＝DC．
∴AD＝BD＝DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．
故答案为：QC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，等角的余角相等．
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