Question

(1)用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，请你设计一种铺设方案，使得1×1的地板砖只用一块．

(2)请你摸索说明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如图(1)，用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形地面，如图(2)的铺设方案．用4个12×11的图所示的板块，恰用1×1的地板砖，可以铺满23×23的正方形地面． (2)说明：我们将23×23的大正方形分成23行23列共529个1×1的小方格，再将第1行，第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染成黑色，其余的15行都为白色，如图Ⅰ－3－10所示． 任意2×2或3×3的小正方块无论怎样放置(边线与大正方形格线重合)，每块2×2或3×3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格． 假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23的正方形地面，则它们盖住的白色1×1的小方格总数为偶数个．然而23×23地面染色后共有23×15(奇数)个1×1的白色小方格，矛盾．所以，只用2×2，3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙．