Question

如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。

(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。

(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；

(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）、

∵y轴和直线l都是⊙C的切线

∴OA⊥AD   BD⊥AD

 又∵ OA⊥OB

∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°

∴四边形OADB是矩形

∵⊙C的半径为2

∴AD=OB=4

∵点P在直线l上

∴点P的坐标为（4，p）

又∵点P也在直线AP上

∴p=4k+3

（2）连接DN

∵AD是⊙C的直径   ∴ ∠AND=90°

∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN

 ∴∠AND=∠ABD                     

又∵∠ADN=∠AMN  ∴∠ABD=∠AMN     

∵∠MAN=∠BAP                      

∴△AMN∽△ABP                  

(3)存在。                          

理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3

AB=

∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB

∴DN==

 ∴AN²=AD²-DN²=

∵△AMN∽△ABP 

∴   即 

当点P在B点上方时，

∵AP²=AD²+PD² = AD²+(PB-BD)² =4²+(4k+3-3)² =16(k²+1)

或AP²=AD²+PD² = AD²+(BD-PB)² =4²+(3-4k-3)² =16(k²+1)

S△ABP= PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)

∴

整理得k²-4k-2=0   解得k₁ =2+  k₂=2-     

当点P在B 点下方时，

∵AP²=AD²+PD² =4²+(3-4k-3)² =16(k²+1)

S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)

∴

 化简，得k²+1=-（4k+3）   解得k=-2

 综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于