Question

11．已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图1，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为相等；
（2）将图1中的菱形ADEF绕点A旋转α（0°＜α＜180°），如图2；
①判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论；
②若AC=4，AD=6，直接写出CE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△ABD与△ACF全等，再利用全等三角形的性质得出即可；
（2）①根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△ABD与△ACF全等，再利用全等三角形的性质得出即可；
②当A、C、D三线合一时，得出CD=6-4=2，进而解答即可．

解答 解：（1）相等，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°，
∴AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=60°，∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
故答案为：相等；
（2）①∵△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°，
∴AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=60°，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF；
②当A、C、D三线合一时，
∵AC=4，AD=6，
∴DC=6-4=2，
此时CE的最小值是=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}-2×2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$2\sqrt{10-3\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据点D的位置的变化，△ABD和△ACF始终全等是解题的关键．