Question

9．如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，联结DE，则DE的长为$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先过E作EF⊥AD于F，设CG=Ax，则DG=8-x，在Rt△CDG中，根据DG²+CD²=CG²，得到（8-x）²+4²=x²，求得AG=5，再根据EF=$\frac{AE×EG}{AG}$=$\frac{12}{5}$，运用勾股定理求得AF和DF的长，即可得到DE的长．

解答 解：如图所示，过E作EF⊥AD于F，
由折叠可得，∠ACB=∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACE，
∴CG=AG，
设CG=Ax，则DG=8-x，
∵Rt△CDG中，DG²+CD²=CG²，
∴（8-x）²+4²=x²，
解得x=5，
∴AG=5，
∴Rt△AEG中，EG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵EF⊥AG，∠AEG=90°，
∴EF=$\frac{AE×EG}{AG}$=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△AEF中，AF=$\sqrt{A{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DF=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴Rt△DEF中，DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意面积法以及方程思想的运用．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解．