中国最大的水果公司“佳沃鑫荣懋旗下子公司“欢乐果园购进某种水果的成本为20元/kg.经过市场调研发现.这种水果在未来48天的销售单价p之间的函数关系式为P=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+30}\\{-\frac{1}{2}t+48}\end{array}\right.$.且其日销售量y的关系如表:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．中国最大的水果公司“佳沃鑫荣懋”旗下子公司“欢乐果园”购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为P=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+30（1≤t≤24，t为整数）}\\{-\frac{1}{2}t+48（25≤t≤48，t为整数）}\end{array}\right.$，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

时间t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日销售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售前24天中，子公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

分析（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．
（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
（3）列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．

解答解：（1）依题意，设y=kt+b，将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，
$\left\{\begin{array}{l}{100=10k+b}\\{80=20k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=120}\end{array}\right.$，
∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系 y=120-2t，
当t=30时，y=120-60=60．
答：在第30天的日销售量为60千克；

（2）设日销售利润为W元，则W=（p-20）y．
当1≤t≤24时，W=（$\frac{1}{4}$t+30-20）（120-t）
=-$\frac{1}{4}$t²+10t+1200=-$\frac{1}{4}$（t-10）²+1250
当t=10时，W最大=1250，
当25≤t≤48时，W=（-$\frac{1}{2}$t+48-20）（120-2t）
=t²-116t+3360=（t-58）²-4
由二次函数的图象及性质知：
当t=25时，W最大=1085，
∵1250＞1085，
∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元；

（3）依题意，得W=-$\frac{1}{2}$t²+（2n+10）t+1200-120n （1≤t≤24），
其对称轴为t=2n+10，要使W随t的增大而增大
由二次函数的图象及性质知：2n+10≥24，
解得n≥7，
又∵n＜9，
∴7≤n＜9．