Question

【题目】如图，已知：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点，连接，，抛物线的对称轴与轴交与点．

（1）求抛物线解析式及点的坐标；

（2）G是抛物线上，之间的一点，且，求出点坐标；

（3）在抛物线上，之间是否存在一点，过点作，交直线于点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；顶点坐标为；（2）点；（3）存在，或．

【解析】

（1）由点A、B坐标即可得到抛物线的解析式，将配成顶点式即可求出顶点；

（2）设，待定系数法求出直线BC的解析式，求出DF，得到△BCD的面积，根据，得到，待定系数法求出BD解析式，从而表达出△BDG的面积，列出方程即可解答；

（3）以、、为顶点的三角形与相似，则以、、为顶点的三角形与相似，①当△PCB∽△BDE，②当△CPB∽△BDE，利用相似比解出BP，求出点P坐标及直线CP的解析式，联立方程组即可求出M的坐标．

解：（1）∵抛物线与轴交于、两点，

∴，

解得．

所以，抛物线的解析式为；

∴；

∴顶点坐标为．

（2）连接，

令，则，

所以，点，

设直线BC的解析式为y=ax+d，

将，代入得，解得a=1，d=-3；

∴直线的解析式为，

设直线与对称轴相交于点，

时，，

所以，点，

所以，，

∴，

∵，

∴，

设过点与轴平行的直线相交于点，直线的解析式为，

则，

解得，

所以，直线的解析式为，

设，

则，

所以，，

整理得，，

解得，

，

所以，点；

（3）存在

由勾股定理得，，

如图，过点作交的延长线于，过点作轴于，

∵，

∴，

∵，，，

∴、与轴的夹角都是45°，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵以、、为顶点的三角形与相似，

∴以、、为顶点的三角形与相似，

①当△PCB∽△BDE

∴，即

解得，

∴，

所以，，

所以，点，

设直线的解析式为，

则，

解得，

所以，直线的解析式为，

联立，

解得（舍去），，

所以，点，

②当△CPB∽△BDE

∴，即

解得，

∴，

所以，，

所以，点，

设直线的解析式为，

则，

解得，

所以，直线的解析式为，

联立，

解得（舍去），，

∴点，

综上所述，存在点或，使、、为顶点的三角形与相似．