Question

【题目】如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135°，得到线段AN，连接BN．

（1）依题意补全图2；

（2）求证：∠BAN＝∠AMB；

（3）点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析．

【解析】

（1）根据旋转图形、线段的画法作图即可；

（2）先证明，再由三角形内角和求得∠AMB与∠BAM的数量关系，再利用角的和差也可求得∠BAN与∠BAM的关系，进而得结论；

（3）如图2，任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点，连接，先根据对称性和旋转的性质可知，，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，又根据线段的和差、对称性得出，要总有，只需恒成立，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得．

（1）由旋转图形、线段的画法作图如下：

（2）∵

∴

∵，即

∴

由旋转的定义可知，

∴

∴；

（3）∵

∴

如图2，任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点，连接

由对称性和旋转的性质可知，

∴

∴

∵点M关于点P的对称点为Q

∴

∴

要总有，只需恒成立

由定理可知，当时，可证出

解得

因此，当时，必有，由定理可证，此时，对于任意的点M，总有．