Question

如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（-6，0），且∠ACD=90°．
（1）请直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；
（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）令y=ax²-8ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B的坐标；
（2）由∠ACD=90°可知△ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式；
（3）△PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取得最小值时，△PAC的周长最小．设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求；
（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解．

解答：解：（1）抛物线的解析式为：y=ax²-8ax+12a（a＞0），
令y=0，即ax²-8ax+12a=0，

解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0）．

（2）抛物线的解析式为：y=ax²-8ax+12a（a＞0），
令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD²=OC²+OD²=（12a）²+6²=144a²+36；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OC²+OA²=（12a）²+2²=144a²+4；
在Rt△ACD中，由勾股定理得：DC²+AC²=AD²；
即：（144a²+36）+（144a²+4）=8²，
解得：a=

3

6

或a=-

3

6

（舍去），
∴抛物线的解析式为：y=

3

6

x²-

4 3

3

x+2

3

．

（3）存在．
对称轴为直线：x=-

8a

2a

=4．

由（2）知C（0，2

3

），则点C关于对称轴x=4的对称点为C′（8，2

3

），
连接AC′，与对称轴交于点P，则点P为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC+AC′．
设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有：

2k+b=0 8k+b=2 3

，解得

k= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴y=

3

3

x-

2 3

3

．
当x=4时，y=

2 3

3

，∴P（4，

2 3

3

）．
过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E=2

3

，AE=6，
在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′=

(2 3 )2+62

=4

3

；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=

22+(2 3 )2

=4．
∴AC+AC′=4+4

3

．
∴存在满足条件的点P，点P坐标为（4，

2 3

3

），△PAC周长的最小值为4+4

3

．

（4）①当-6≤t≤0时，如答图4-1所示．
∵直线m平行于y轴，
∴

GH

CO

=

DH

DO

，即

GH

2 3

=

6+t

6

，解得：GH=

3

3

（6+t）
∴S=S_△DGH=

1

2

DH•GH=

1

2

（6+t）•

3

3

（6+t）=

3

6

t²+2

3

t+6

3

；

②当0＜t≤2时，如答图4-2所示．
∵直线m平行于y轴，
∴

GH

CO

=

AH

AO

，即

GH

2 3

=

2-t

2

，解得：GH=-

3

t+2

3

．
∴S=S_△COD+S_梯形OCGH=

1

2

OD•OC+

1

2

（GH+OC）•OH
=

1

2

×6×2

3

+

1

2

（-

3

t+2

3

+2

3

）•t
=-

3

2

t²+2

3

t+6

3

．
∴S=

3 6 t2+2 3 t+6 3 (-6≤t≤0) - 3 2 t2+2 3 t+6 3 (0＜t≤2)

．

点评：本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算．