Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CK交AB于P，D为

BC

上一点，且∠CPD=∠BPD=60°，连OC、OD．
（1）求证：∠OCK=∠ODP；
（2）若PC=4

2

，PO=6

2

，求S_△POD．

Answer 1

分析：（1）首先根据∠CPD=∠BPD=60°，进而得出∠KPO=60°，再利用角平分线的性质得出EO=OF，再利用HL定理得出Rt△OEC≌Rt△OFD即可得出答案；
（2）首先利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出PE的长，进而得出EC=EK=7

2

，PK=10

2

，再利用全等三角形的判定得出△OPD≌△OPK，即可得出S_△POD=S_△POK进而求出即可．

解答：（1）证明：如图所示：
作OE⊥CK于E，OF⊥PD于F，
∵∠CPD=∠BPD=60°，
∴∠KPB=180°-60°-60°=60°，
∵OE⊥CK，OF⊥PD，
∴EO=OF，∠OEC=∠OFD=90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中

FO=EO CO=DO

，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠OCK=∠ODP；

（2）解：如图所示：连接OK，∵∠KPB=60°，∠OEP=90°，
∴∠EOP=30°，
∴PE=

1

2

PO=

1

2

×6

2

=3

2

，
EO=

PO2-PE2

=3

6

，
∵PC=4

2

，
∴EC=EK=7

2

，PK=10

2

，
∵KO=CO，
∴∠OKC=∠OCK，
∵∠OCK=∠ODP，
∴∠K=∠ODP，
∴∠KOP=∠POD，
在△OPD和△OPK中，

OK=OD ∠KOP=∠POD PO=PO

，
∴△OPD≌△OPK，
∴S_△POD=S_△POK=

1

2

×EO×PK=

1

2

×10

2

×3

6

=30

3

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及垂径定理和勾股定理等知识，根据已知转换图形得出S_△POD=S_△POK是解题关键．