题目内容

如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=3，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
解答：解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S△AOH=•a•a=a2，
∵S△AOF=12，
∴S平行四边形AOBC=24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，
∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，
∵点A，F都在y=的图象上，
∴S△AOH=k，
∴a2=6+a2，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，
∴OB=AC=3，
∴C（5，）；

（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（，），P2（-，），
当∠PAO=90°时，P3（，），
当∠POA=90°时，P4（-，）．
点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．
练习册系列答案
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．
14、如图，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），点B坐标为（3，0），将△AOB沿AB折叠，点O落在点C处，则点C的坐标是
（3，3）
．

如图所示，为坐标原点，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．

（1）求的值和反比例函数的解析式及自变量的取值范围；

（2）根据图像判断，当不等式≥成立时，x的取值范围是什么？（3）连接OB，求△OAB的面积。

 

如图，已知为坐标原点，点的坐标为，的半径为1，过作直线平行于轴，点在上运动．
（1）当点运动到圆上时，求线段的长．
（2）当点的坐标为时，试判断直线与的位置关系，并说明理由．

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