Question

12．如图：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x₁，x₂，x₃，…x_n的n个正方形依次放在△ABC中：第一个正方形CM₁P₁N₁的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M₁M₂P₂N₂的顶点分别放在Rt△AP₁M₁的各边上，…其他正方形依次放入，则第2016个正方形的边长X₂₀₁₆为（$\frac{2}{3}$）²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 由四边形CDEF是正方形，即可得CD=CF=DE=EF=x₁，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得 $\frac{{N}_{1}{P}_{1}}{AC}$，又由BC=1，AC=2，即可求得x₁的值，同理求得x₂，x₃的值；
观察规律即可求得第n个正方形的边长x_n=（ $\frac{2}{3}$）ⁿ．

解答 解：如图，∵四边形CM₁P₁N₁是正方形，
则CN₁=CM₁=P₁N₁=M₁P=x₁，P₁N₁∥AC，
∴$\frac{{N}_{1}{P}_{1}}{AC}$=$\frac{B{N}_{1}}{BC}$，
即$\frac{{x}_{1}}{1}$=$\frac{2-{x}_{1}}{2}$，
∴x₁=$\frac{2}{3}$，
同理：x₂=（$\frac{2}{3}$）²，
x3=（$\frac{2}{3}$）³，
…
∴x_n=（$\frac{2}{3}$）ⁿ．
∴x₂₀₁₆=（$\frac{2}{3}$）²⁰¹⁶．

故答案为：（$\frac{2}{3}$）²⁰¹⁶．

点评 此题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，考查了学生的观察归纳能力．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．