Question

18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在$\widehat{AD}$上．
（1）求∠AED的度数；
（2）若⊙O的半径为2，则$\widehat{AD}$的长为多少？
（3）连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据圆的内接四边形的性质得出∠BAD的度数，由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；
（2）连接OA，由圆周角定理求出∠AOD的度数，由弧长公式即可得出$\widehat{AD}$的长；
（3）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，即可得出结果．

解答 解：（1）连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）∵∠AOD=2∠ABD=120°，
∴$\widehat{AD}$的长=$\frac{120×π×2}{180}$=$\frac{4π}{3}$；
（3）连接OA，如图2所示：
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，
∴n=$\frac{360°}{30°}$=12．

点评 此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．