Question

如图所示，在平面直角坐标系中，现将直角△ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且∠ACB=90°，BC=

5

2

，点A（0，2），点C（-1，0）．抛物线y=ax2+

1

5

ax-12a-3经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的直角三角形且与△ABC相似？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求点B的坐标，就过点B作垂线．利用三角形相似和勾股定理可以求出．
（2）利用待定系数法把点B的坐标代入解析式求出a值，从而求出抛物线的解析式．
（3）要求是否有满足条件的点，假设存在看需要的条件，本题在x=0时，y=2．抛物线经过点A，只要证明△ABP为直角三角形就可，利用一次函数与抛物线的交点就可以求出点P．

解答：解：（1）过点B作BD⊥OC于D，
∴∠BDC=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACO=90°
∵∠ACO+∠1=90°
∴∠BCD=∠1
∠BDC=∠AOC=90°
∴△BDC∽△COA
∴

BD

CO

=

DC

OA

=

BC

AC

在Rt△AOC中，OA=2，OC=1，由勾股定理，得
AC=

5

∵BC=

5

2

∴BD=

1

2

，DC=1
∴B（-2，

1

2

）；

（2）由题意得

1

2

=4a-

2

5

a-12a-3
解得a=-

5

12

∴抛物线的解析式为：y=-

5

12

x2-

1

12

x+2

（3）存在点P，使△PAC∽△ABC．
∵AC⊥BP，∴B、C、P在同一直线上，设BC的解析式为：y=kx+b由题意得

1 2 =-2k+b 0=-k+b

解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

直线BC的解析式为：y=-

1

2

x-

1

2

∴直线BC与抛物线的另一交点坐标为P（3，-2）
利用两点间的距离公式求得：
AP2=25，BP2=

125

4

由勾股定理得：AB2=

25

4

∴AB²+AP²=BP²
∴△ABP为直角三角形
∵AC⊥BP
∴△ABC∽△PAC
∴P（3，-2）．
②作AE⊥AC于A交x轴于E，
∴△AOC∽△EOA，
∴

AO

OE

=

OC

OA

，
∴

2

OE

=

1

2

，
∴OE=4，
∴E（4，0）．
设AE的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=4k+b 2=b

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直线AE的解析式为：y=-

1

2

x+2；

y=- 5 12 x2- 1 12 x+2 y=- 1 2 x+2

，
解得：

x1=0 y1=2

，

x2=1 y2= 3 2

；
∴P（0，2）（舍去），P（1，

3

2

）
∴P（3，-2）或（1，

3

2

）．

点评：本题是一道二次函数综合题，考查了相似三角形的运用，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理的运用等知识，对学生的综合能力要求比较强．