Question

【题目】正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果的周长为2，求的度数．

Answer 1

【答案】45°.

【解析】

首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．

解：如图所示，

△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，

正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，

∴AP+AQ+QD+PB=2②，

①-②得，PQ-QD-PB=0，

∴PQ=PB+QD．

延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），

∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，

∵∠DCQ+∠QCB=90°，

∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，

PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．

在△CPQ与△CPM中，

CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，

∴△CPQ≌△CPM（SSS），

∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．