题目内容
如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
（1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
（4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．
分析：（1）先确定直线AB的解析式，以及N点的坐标后可以确定P点的横坐标，再把它代入直线方程解出P点坐标．
（2）由P点的纵坐标可以知道△MPA中边AM上的高，再求出AM的长，即可求得三角形面积．
（3）当△APM与△ACO相似时∠APM=90°，
=
或者
=
，根据这个式子列出等量关系可以求得x的值．进而求得P点坐标．
（4）△PMA能成为等腰三角形时，有两边长相等，此时分三种情况①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根据勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
（2）由P点的纵坐标可以知道△MPA中边AM上的高，再求出AM的长，即可求得三角形面积．
（3）当△APM与△ACO相似时∠APM=90°，
| AP |
| AM |
| AO |
| AC |
| AM |
| AP |
| AO |
| AC |
（4）△PMA能成为等腰三角形时，有两边长相等，此时分三种情况①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根据勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
解答：解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-
x+4，
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为
x，
所以P点坐标为：（3-x，
x）；
（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h=
x，
M点坐标为（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=
AM•h，
解得：S=-
x2+2x=-
(x-
)2 +
，
解得S的最大值为
，
（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
x，
∵
=
∴
=
，解得：
x=
，即P点坐标为（
，
），
同理可得当
=
时，
P点坐标为（
，2）；
故有P点坐标为：P1（
，
）、P2（
，2）；
（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+(0-
x)2=（3-x）2，
解得：x1=
，x2=-
（舍去），
∴3-x=
，
x=
，
∴P的坐标是（
，
），
②AP=PM时，[3-（3-x）]2+(0-
x)2=[（3-x）-x]2+(
x-0)2，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，
x=
，
∴P的坐标是（2，
），
③MP=MA时，[（3-x）-x]2+(
x-0)2=（3-x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=
，
∴3-x=
，
x=
，
∴P的坐标是（
，
），
即P点的坐标分别为
P1（2，
）、P2（
，
）、P3（
，
）．
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P1（2，
）、P2（
，
）、P3（
，
）．
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-
| 4 |
| 3 |
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为
| 4 |
| 3 |
所以P点坐标为：（3-x，
| 4 |
| 3 |
（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h=
| 4 |
| 3 |
M点坐标为（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=
| 1 |
| 2 |
解得：S=-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解得S的最大值为
| 3 |
| 2 |
（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
| 5 |
| 3 |
∵
| AP |
| AM |
| AO |
| AC |
∴
| ||
| 3-x |
| 3 |
| 5 |
x=
| 27 |
| 34 |
| 75 |
| 34 |
| 18 |
| 17 |
同理可得当
| AM |
| AP |
| AO |
| AC |
P点坐标为（
| 3 |
| 2 |
故有P点坐标为：P1（
| 75 |
| 34 |
| 18 |
| 17 |
| 3 |
| 2 |
（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+(0-
| 4 |
| 3 |
解得：x1=
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 2 |
∴3-x=
| 15 |
| 8 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴P的坐标是（
| 15 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
②AP=PM时，[3-（3-x）]2+(0-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴P的坐标是（2，
| 2 |
| 3 |
③MP=MA时，[（3-x）-x]2+(
| 4 |
| 3 |
解得：x1=0（舍去），x2=
| 54 |
| 43 |
∴3-x=
| 75 |
| 43 |
| 4 |
| 3 |
| 72 |
| 43 |
∴P的坐标是（
| 75 |
| 43 |
| 72 |
| 43 |
即P点的坐标分别为
P1（2，
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
| 75 |
| 43 |
| 72 |
| 43 |
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P1（2，
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
| 75 |
| 43 |
| 72 |
| 43 |
点评：本题属于综合题，主要考查了二次函数的性质和最值求法，同时还考查了三角形的相关知识．
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