Question

如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P的运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质可得OC=AB，然后写出点A、B、C的坐标，再设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，最后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，然后写出点D、E、F的坐标，根据等腰梯形的两腰相等可得OP=QE，从而得到BP=FQ，然后列出关于t的方程求解即可．

解答：解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB=4，
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

16a+4b+c=2 c=2 16a-4b+c=0

，
解得

a=- 1 16 b= 1 4 c=2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

16

x²+

1

4

x+2；

（2）∵y=-

1

16

x²+

1

4

x+2=-

1

16

（x-2）²+

9

4

，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴OD=CF+OF=4+2+2=8，
∴点D（8，0），E（2，2），F（2，0），
欲使四边形POQE是等腰梯形，则OP=QE，
∴BP=FQ，
即t=（8-2）-3t，
解得t=

3

2

，
因此，当点P运动

3

2

s时，四边形POQE是等腰梯形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰梯形的两腰相等的性质，（1）求出点A、B、C的坐标是解题的关键，（2）根据直角三角形的斜边与一直角边相等得到另一对直角边BP、FQ相等列出方程是解题的关键．