Question

一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．

（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；

（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．

Answer 1

解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD

∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，

∴BC=AB=12m．

在Rt△BCO中，sin∠COB==，

∴OB=13mCO=5m．

∵DE∥AB，

∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．

又∵OF过圆心，

∴DF=DE=×4=2m．

在Rt△DFO中，OF===7m，

∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4m时，此时的水深为12m；

（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，

连接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．

在Rt△CDF中，cot∠CDF==．

∵DE∥AB，

∴∠ACD=∠CDE，

∴cot∠ACD=cot∠CDF=．

答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为．