Question

3．已知平行四边形ABCD，点E为线段AD上一点．联结CE并延长交BA的延长线于点F．联结BE、DF．
（1）当E为AD的中点时，求证：△DEF与△ABE的面积相等；
（2）当∠ABE=∠DFE时，求证：EF²=AF•DC．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得到∠AFC=∠DCF，推出△AFE≌△CDE，根据全等三角形的判定和性质得到AF=CD，根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论；
（2）根据平行线分相等成比例定理得到$\frac{AF}{FE}=\frac{BF}{CF}$，通过△FBE∽△CFD，得到$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{CF}$，等量代换得到$\frac{AF}{EF}=\frac{EF}{CD}$，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCF，
在△AEF与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠DCF}\\{∠AEF=∠DEC}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△CDE，
∴AF=CD，
∴AB=AF，
∴S_△ABE=S_△AEF，
∵AE=EF，
∴S_△AEF=S_△DEF，
∴△DEF与△ABE的面积相等；

（2）∵AE∥BC，
∴$\frac{AF}{FE}=\frac{BF}{CF}$，
∵∠ABE=∠DFE，∠AFC=∠FCD，
∴△FBE∽△CFD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{EF}{CD}$，
∴EF²=AF•DC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．