Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．
（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）利用平行四边形的性质求出相等的角，然后判断出△ABE∽△ADF；
（2）判断出四边形ABCD是平行四边形，再加上条件AB=AD可以判断出四边形ABCD是菱形．

解答：解：（1）△ABE∽△ADF．
理由如下：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°． 
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF．
（2）证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG．
∴∠AGB=∠AHD．
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH．
∴∠BAG≌∠DAH．
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键．