题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，对称轴为x=2的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点M的坐标；
（2）将（1）中的抛物线在x轴下方部分沿着x轴翻折，点M的对应点为M′．
①判断点M′是否落在直线AB上，并说明理由；
②若点P（m，n）是直线AB上的动点，点Q是（1）中抛物线上的动点，是否存在点P，使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当x=0时，y=-0+3，则y=3
∴B（0，3）
当y=0时，0=-x+3，则x=3
∴A（3，0）
设对称轴与x轴相交于点H，
∴H（2，0）
∴AH=1
根据抛物线的对称性可知CH=1

∴OC=1
∴C（1，0）
$\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
抛物线的解析式为：y=x²-4x+3
y=（x-2）²-1
∴M（2，-1）

（2）①∵点M与点M′关于x轴对称
∴M′（2，1）
∴MM′=2
当x=2时，y=-2+3=1，
∴M′在直线AB上
②存在，
当以MM′为四边形的对角线时，
∵HM=HM′=1，CH=AH=1
∴四边形CMAM′是平行四边形，此时P、Q分别于A、C重合
∴P（3，0）
当以MM′为边时
要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形
∴PQ∥MM′，PQ=MM′
∵P、Q是直线AB和（1）抛物线上的动点
∴P、Q的坐标分别为（m，-m+3）（m，m²-4m+3）
∴PQ=MM′=2
∴|m²-4m+3-（-m+3）|=2
∴m²-3m=±2
由m²-3m=2得m= $\text{[math]}$
∴P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
由m²-3m=-2得m=1或2
当m=2时，点P与M′重合，舍去．
P（1，2）
综上所述，∴P₁（3，0），P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₄（1，2）
分析：（1）根据直线的解析式可以求出A点B点的坐标，然后根据对称轴和A点坐标及抛物线的对称性可以求出C点的坐标，再根据ABC的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后化成顶点式就可以求出顶点坐标．
（2）①根据轴对称求出M′的坐标，将该坐标代入直线的解析式判断M′是否在直线上，使问题解决．
②根据平行四边形的性质分两种情况；当MM′是对角线和是边时两种不同的情况求出P点的相应坐标．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的图象特征的运用，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定．