Question

20．函数y=（m-3）${x}^{{m}^{2}-3m-2}$是关于x的二次函数．
（1）若函数的图象开口向上，求函数的表达式，并说明在函数图象上y随x怎样变化？
（2）在问题（1）中的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的定义求出m的值，运用抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在左侧y随x的增大而减小．
（2）根据题意，设P（a，a）或P（-a，a）（a≠0），分别把（a，a）和（-a，a）代入（1）求出的抛物线即可求出a的值，即得出答案．

解答 解：（1）∵函数y=（m-3）${x}^{{m}^{2}-3m-2}$是关于x的二次函数，
∴m²-3m-2=2，m-3＞0，
解得：m=4．
∴二次函数的表达式为y=x²，
∴抛物线的开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
（2）根据题意，设P（a，a）或P（-a，a）（a≠0），
将P（a，-a）代入抛物线的解析式得a=a²，
解得a₁=1，a₂=0（舍），
将P（-a，a）代入抛物线得a=（-a）²，
解得a₁=1，a₂=0（舍）．
故符合条件的点P（1，1）和p（-1，1）．

点评 该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．