Question

【题目】如图，边长为6的等边三角形ABC中，D是AB边上的一动点，由A向B运动(A、B不重合)，F是BC延长线上的一动点，与D同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动(与C不重合)，过点D作DE⊥AC，连接DF交AC于G．

(1)当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长．

(2)当DF⊥AB时，求AD的长．

(3)在运动过程中线段GE的长是否发生变化？如果不变，求出线段GE的长：如果发生改变请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）2 （3）不变；3

【解析】

（1）由点D运动到AB的中点得到AD＝AB＝3，根据等边三角形的性质可得：∠A＝60°，求得∠ADE＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）由点E、F同时运动且速度相同得到AD＝CF，求出∠AGD＝∠CGF＝30°，∠F＝30°，进而得到CF＝CG＝AD，设AD＝CG＝CF＝x，则AG＝2x，列方程即可求解；

（3）作FQ⊥AC，交线段AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，易知AD＝CF，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠QCF＝60°，继而推出△ADE≌△CFQ(AAS)，由AE＝CQ，DE＝QF且DE∥QF可得四边形DEFQ是平行四边形，继而可知 GE＝EQ，推出GE＝AC，即可得到结论．

解：(1)点D运动到AB的中点时，

∵AD＝AB＝3，∠A＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝；

(2)∵点D、F同时运动且速度相同，

∴AD＝CF，

∵DF⊥AB，∠A＝60°，

∴∠AGD＝∠CGF＝30°，

∵∠B＝60°，

∴∠F＝30°，

∴∠CGF＝∠F，

∴CF＝CG＝AD，

设AD＝CG＝CF＝x，则AG＝2x，

∴AG+CG＝2x+x＝3x＝6，

∴x＝2，

∴AD＝2；

(3)当点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变．理由如下：

作FQ⊥AC，交线段AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，

又∵DE⊥AB于E，

∴∠GQF＝∠AED＝90°，

∵点D、F速度相同，

∴AD＝CF，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠QCF＝60°，

在△ADE和△CFQ中，

∵∠AED＝∠CQF＝90°，

∴∠AED＝∠CQF，

在△ADE和△CQF中，

∴△ADE≌△CFQ(AAS)，

∴AE＝CQ，DE＝QF且DE∥QF，

∴四边形DEFQ是平行四边形，

∴GE＝EQ，

∵EC+AE＝CE+CQ＝AC，

∴GE＝AC，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴GE＝3，

∴点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变．