Question

9．已知点A（2，4），B（4，a），C（b，-$\frac{8}{3}$）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）分别求出k，a和b的值．
（2）若P，Q，R是该反比例函数图象上的三点，分别过P，Q，R三点向x轴、y轴作垂线，构成三个矩形，他们的面积分别是S₁，S₂，S₃，试比较S₁，S₂，S₃的大小．
（3）若H是该函数图象上一点，延长HO交该函数的图象于点M，HN⊥x轴，MN⊥y轴，HN与MN交于点N，求△HMN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求得k的值，然后将点B、C的坐标分别代入该反比例函数的解析式，列出关于a、b的二元一次方程组，通过解方程组即可求得．
（2）根据过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，判断S₁=S₂=S₃．
（3）此题可根据反比例函数的对称性得H、M两点关于原点对称，再由反比例函数系数k的几何意义可得出△HMN的面积．

解答 解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×4=8，
∵B（4，a），C（b，-$\frac{8}{3}$）都在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{4}}\\{-\frac{8}{3}=\frac{8}{b}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
（2）设点P坐标为（x₁，y₁） 点Q坐标（x₂，y₂） 点R坐标（x₃，y₃），
∵S₁=x₁•y₁=k，S₂=x₂•y₂=k，S₃=x₃•y₃=k，
∴S₁=S₂=S₃．
（3）如图，设点H的坐标为（x，y），则点M坐标为（-x，-y），
所以HN=2y，MN=2x，
所以Rt△HMN的面积为$\frac{1}{2}$MN•HN=$\frac{1}{2}$×2x•2y=2xy=2|k|=16．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征和比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．