Question

4．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求证：BC=CD．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，根据同角的补角相等求出∠D=∠CBE，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=∠CBE，
在△BCE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBE}\\{∠E=∠CFD=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴BC=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．