Question

已知抛物线y=

1

2

x2-x+k与x轴有两个交点．
（1）求：k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A（-1，0）在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，试判断△ABD是不是等腰直角三角形？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求：点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与x轴有两个交点，△≥0列出不等式求解即可；
（2）把点A坐标代入抛物线求出k值，再求出点B、D的坐标，设抛物线对称轴与x轴交点为F，求出AF=BF=DF，从而求出∠ADF=∠DAF=∠BDF=∠DBF=45°，即可得到△ABD是等腰直角三角形；
（3）分OA和OB是对应边，OA和OC是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点E在y轴正半轴写出坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²-x+k与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac=（-1）²-4×

1

2

k＞0，
解得k＜

1

2

；

（2）△ABD是等腰直角三角形．
理由如下：将点A（-1，0）代入抛物线y=

1

2

x²-x+k得，

1

2

×（-1）²-（-1）+k=0，
解得k=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点B（3，0），
∵y=

1

2

x²-x-

3

2

=

1

2

（x-1）²-2，
∴点D（1，-2），
设抛物线对称轴与x轴交点为F，
则AF=BF=DF=2，
∴∠ADF=∠DAF=∠BDF=∠DBF=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（3）∵（3，0），C（0，-

3

2

），
∴OB=3，OC=

3

2

，
OA和OB是对应边时，△BOC∽△AOE，
∴

OA

OB

=

OE

OC

，
即

1

3

=

OE

3 2

，
解得OE=

1

2

，
此处，点E₁（0，

1

2

），
OA和OC是对应边时，△BOC∽△EOA，
∴

OA

OC

=

OE

OB

，
即

1

3 2

=

OE

3

，
解得OE=2，
此时，点E₂（0，2），
综上所述，点E的坐标为（0，

1

2

）或（0，2）时，以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点问题，等腰直角三角形的判定，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）要分情况讨论．