题目内容

如图，已知直线y=-
12
x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的 函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三精英家教网角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，-
1
2
x+2），根据勾股定理求出x即可；
（3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到
5
4
x2+2x+8=x2+（-
1
2
x+2-2）2，求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．
解答：解：（1）A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y=
1
2
（x+2）2．精英家教网

（2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，
过点P作PD⊥x轴于点D，
设P的坐标是（x，-
1
2
x+2），则在Rt△PDM中，
PM2=DM2+PD2
即l2=（-2-x）2+（-
1
2
x+2）2=
5
4
x2+2x+8，
自变量x的取值范围是：-5＜x＜0，
答：l2与x之间的函数关系是l2=
5
4
x2+2x+8，自变量x的取值范围是-5＜x＜0．

（3）存在满足条件的点P，
连接AM，由题意得，AM=
OA2+OM2
=2
2
，
①当PM=PA时，
5
4
x2+2x+8=x2+（-
1
2
x+2-2）2，
解得：x=-4，
此时y=-
1
2
×（-4）+2=4，
∴点P1（-4，4）；
②当PM=AM时，
5
4
x2+2x+8=（2
2
）2，
解得：x1=-
8
5
    x2=0（舍去），
此时y=-
1
2
×（-
8
5
）+2=
14
5
，
∴点P2（-
8
5
，
14
5
），
③当PA=AM时，x2+（-
1
2
x+2-2）2=（2
2
）2，
解得：x1=-
4
10
5
    x2=
4
10
5
（舍去），
此时y=-
1
2
×（-
4
10
5
）+2=
2
10
+10
5
，
∴点P3（-
4
10
5
，
2
10
+10
5
），
综上所述，满足条件的点为：
P1（-4，4）、P2（-
8
5
，
14
5
）、P3（-
4
10
5
，
2
10
+10
5
），
答：存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标是（-4，4）或（-
8
5
，
14
5
）或（-
4
10
5
，
2
10
+10
5
）．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
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；
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2
3
x+
8
3
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．
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35°
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．
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