Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+1交坐标轴于A、B点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E．
（1）求点C、D的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）若抛物线与正方形沿射线AB下滑，直至点C落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）分别过C、D两点作x轴、y轴的垂线，利用三角形全等的关系可确定C、D两点的坐标；
（2）根据A、C、D三点的坐标求抛物线解析式；
（3）由平移的性质可判断线段CE所扫过的部分为平行四边形，CC′为底，BC为高，由此求出C、E两点间的抛物线所扫过的面积．

解答：解：（1）如图，分别过C、D两点作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，
由直线AB的解析式得AO=1，OB=2，
由正方形的性质可证△ADN≌△BAO≌△CBM，
∴DN=BM=AO=1，AN=CM=BO=2，
∴C（3，2），D（1，3）；


（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
将A（0，1），C（3，2），D（1，3）三点坐标代入，得

c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3

，
解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

，
∴y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）∵AB=BC=

OA2+OB2

=

5

，
由△BCC′∽△AOB，得

BC

CC′

=

AO

OB

=

1

2

，
∴CC′=2BC=2

5

，
由割补法可知，抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积=S_?CEE′C′=CC′×BC=2

5

×

5

=10，
即抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积为10．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，点的坐标，待定系数法求抛物线解析式及平移的性质．关键是根据正方形的性质构造全等三角形确定点的坐标，根据平移的性质判断阴影部分图形的形状，根据图形形状求面积．