Question

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC＝kBD，如图2．

①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；

②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

Answer 1

（1）证明：在矩形ABCD中，

∵AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∵△D′OC′由△DOC旋转得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB＝OD′＝OA＝OC′，…………1分

∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

即∠BOD′＝∠AOC′，…………2分

∴△BOD′≌△AOC′…………3分

（2）①猜想：△BOD′∽△AOC′．

证明：在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

∵△D′OC′由△DOC旋转得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB：OA＝OD′：OC′，…………4分

180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，…………5分

∴△BOD′∽△AOC′…………6分

②结论：AC′＝kBD′，∠AMB＝α

证明：∵△BOD′∽△AOC′，

∴，即AC′＝kBD′          …………7分

设BD′与AC相交于点N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM＝∠OAM，

在△ANM与△BNO中，又∵∠ANM＝∠BNO，

∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．………………9分