Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，一次函数y₁=k₁x+b（k≠0）的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，4），B（3，m）两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在第一象限内，x取何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

（1）y₁=﹣x+ （2）x取1＜x＜3 （3）

试题分析：（1）把A（1，4）代入数即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，求出M、N的坐标，根据S_△AOB=S_△NOM﹣S_△AON﹣S_△BOM代入即可求出△AOB的面积．
解：（1）把A（1，4）代入数（x＞0）得：4=，
解得：k₂=4，
即反比例函数的解析式是：y₂=，
把B（3，m）代入上式得：m=，
即B（3，），
把A、B的坐标代入y₁=k₁x+b（k≠0）得：
，
解得：k=﹣，b=，
∴一次函数的解析式是：y₁=﹣x+；
（2）从图象可知：在第一象限内，x取1＜x＜3时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值；
（3）过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，

∵A（1，4），B（3，），
∴AE=1，BF=，
∵设直线AB（y₁=﹣x+）交y轴于N，交x轴于M，
当x=0时，y=，
当y=0时，x=4，
即ON=，OM=4，
∴S_△AOB=S_△NOM﹣S_△AON﹣S_△BOM
=××4﹣××1﹣×4×
=．
点评：本题考查了三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式等知识点，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．