Question

已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．
求证：（1）CD是⊙O的切线；
（2）CD²=AD•BE．

Answer 1

分析：（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）作辅助线（连接BC，延长AC交BE的延长线于M ）构建全等三角形△DAC≌△MCE，根据全等三角形的对应边相等知DC=EC；然后由相似三角形的判定定理AA判定△ADC∽△CEB，再由相似三角形的对应边成比例求得

AD

CE

=

CD

BE

，即CD²=AD•BE．

解答：证明：（1）连接OC               …（1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠OAC
∴∠OCA=∠DAC         …（2分）
∴AD∥OC
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD                                       …（3分）
∴CD是⊙的切线                                 …（4分）

（2）连接BC，延长AC交BE的延长线于M              …（5分）
∵AD⊥DE     BE⊥DE
∴AD∥BE
∴∠M=∠DAC
∵∠DAC=∠BAM
∴∠BAM=∠M
∴BA=BM                                           …（6分）
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴AC=MC
又∵∠M=∠DAC+∠D=∠CEM   AC=MC
∴△DAC≌△MCE
∴DC=EC                                         …（7分）
（若用平行线分线段成比例定理证明，正确得分）
∴∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB
∴△ADC∽△CEB                                   …（8分）
∴

AD

CE

=

CD

BE

∴CE•CD=AD•BE
∴CD²=AD•BE…（9分）
说明：本题还有其它证法，若正确合理得分．

点评：本题综合考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．判定一条直线是圆的切线的三种方法：
（1）根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．
（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
（3）根据切线的判定定理来判定．