Question

【题目】如图，点是三个内角的角平分线的交点，连接，，且，则的度数为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由角平分线的性质可得∠ABP+∠BAP=60°，由“SAS”可证△ACP≌△BCP，可得AP=PE，∠CAP=∠CEP，可得PE=BE，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠PAB=2∠PBA，即可求解．

如图，在BC上截取CE=AC，连接PE，

∵∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°
∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，
∴∠CAP=∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠BCP，
∴∠ABP+∠BAP=60°
∵CA=CE，∠ACP=∠BCP，CP=CP
∴△ACP≌△ECP（SAS）
∴AP=PE，∠CAP=∠CEP
∵CA+AP=BC，且CB=CE+BE，
∴AP=BE，
∴BE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，
∴∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP
∴∠PAB=2∠PBA，且∠ABP+∠BAP=60°，
∴∠PAB=40°，
∴∠CAB=80°
故答案为：80°.