Question

设关于x的方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的两根x₁、x₂满足（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，则k的值是________．

Answer 1

-1
分析：根据根与系数的关系x₁+x₂=-，x₁x₂=求得x₁+x₂、x₁x₂的值，然后将其代入（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，求关于k的方程即可．
解答：∵关于x的方程x²-2（k+1）x+k²-3=0有两根，
∴△=4（k+1）²-4（k²-3）≥0，
∴k≥-2；
∵关于x的方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-2（k+1），常数项c=k²-3，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²-3；
又∵（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，
∴4（k+1）²-2（k²-3）=4，即（k+1）（k+3）=0，
解得，k=-1或k=-3（∵k≥-2，∴不合题意，舍去）．
故答案为：-1．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答此题时，注意不要漏掉一元二次方程有实数根时，根的判别式△=b²-4ac≥0这一条件．