Question

设关于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0的两个实数根为x₁、x₂，现给出三个结论，则正确结论的个数是（　　）
①x₁≠x₂；②x₁x₂＜ab；③x₁²+x₂²＜a²+b²．

A．1

B．2

C．3

D．无法确定

Answer 1

分析：①可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；
②根据两根之积就可以判定是否正确；
③利用根与系数的关系可以求出x₁²+x₂²的值，然后也可以判定是否正确．

解答：解：①∵方程x²-（a+b）x+ab-1=0中，
△=[-（a+b）]²-4（ab-1）=（a-b）²+4＞0
∴①x₁≠x₂正确；

②∵x₁x₂=ab-1＜ab，
∴②正确；

（3）∵x₁+x₂=a+b，
即（x₁+x₂）²=（a+b）²，x₁²+x₂²+2x₁x₂=2ab+a²+b²，
∵x₁x₂＜ab，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-2ab＜a²+b²，即x₁²+x₂²＜a²+b²，
∴③正确；
其中正确结论个数有3个；
故选：C．

点评：本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．