Question

如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切线于点B，AC与⊙O相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠BED=70°，⊙O的半径为2，求劣弧BD的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，又由E为BC的中点，可证得DE=BE，又由BC与⊙O相切线于点B，OB=OD，即可证得∠ODE=∠OBE=90°，即可证得直线DE是⊙O的切线；
（2）由∠BED=70°，即可求得∠BOD的度数，又由弧长公式，即可求得劣弧BD的长．

解答：（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BC是⊙O相切线，
∴AB⊥BC，
∴∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
即OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ABE=∠ODE=90°，∠BED=70°，
∴∠BOD=360°-∠ABE-∠ODE-∠BED=110°，
∴劣弧BD的长为：

110

180

×π×2=

11

9

π．

点评：此题考查了切线的判定与性质、直角三角形的性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．