Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若直线l是抛物线的对称轴，设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点M（m，0），使得以线段CM为直径的圆与边BC交于Q点（与点C不同），且以点Q、B、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△QBO的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①QB=BO、②QB=QO、③QO=BO；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△QBO的三边长，再按上面的三种情况列式求解即可．

解答 解：∵y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=-2\end{array}\right.$，
∴函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）如图1，抛物线的对称轴是直线x=1.5．

当点P落在线段BC上时，PA+PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为D．
∵B（4，0）、C（0，-2）．
∴OB=4，OC=2．
又OD=$\frac{3}{2}$，得BD=$\frac{5}{2}$．
由$\frac{BD}{BO}=\frac{PD}{OC}$，得
PD=$\frac{5}{4}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{4}$）．
（3）过点Q作QM⊥BC交AB于点M，如图2，

则根据直径所对圆周角是直角的性质，知点Q在以CM为直径的圆上，
由A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2）可证△ABC是直角三角形，得∠ACB=90°，
∴QM∥AC，
∴△BMQ∽△BAC．
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{BM}{AB}$，
由A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），可得OA=1，OB=4，OC=2．
则AB=1+4=5，BC=$\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$．
由M（m，0），得BM=4-m．
分三种情况：
①当QB=QO时，点Q在OB垂直平分线上，是BC的中点，得QC=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{\sqrt{5}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{4-m}{5}$，解得$m=\frac{3}{2}$．
②当BQ=BO时，BQ=4．
∴$\frac{4}{{2\sqrt{5}}}=\frac{4-m}{5}$，解得$m=4-2\sqrt{5}$．
③当OB=OQ时，由于OQ=4，OA=2，OQ＞OA从而点Q在CB的延长线上，这样点M不在线段AC上．
综上所述，m的值为$\frac{3}{2}$或$4-2\sqrt{5}$．

点评 该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．