题目内容

如图，△OAB是边长为2+ $数学公式$ 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x轴，得△OA′E是直角三角形，
设A′的坐标为（0，b），
AE=A′E= $\text{[math]}$ b，OE=2b， $\text{[math]}$ b+2b=2+ $\text{[math]}$ ，
所以b=1，A′、E的坐标分别是（0，1）与（ $\text{[math]}$ ，1）．

（2）因为A′、E在抛物线上，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
函数关系式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1，
由- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1=0，
得x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂=2 $\text{[math]}$ ，
与x轴的两个交点坐标分别是（ $\text{[math]}$ ，0）与（ $\text{[math]}$ ，0）．

（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成为直角三角形．
分析：（1）当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+ $\text{[math]}$ ，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；
（2）将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；
（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：
①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．
②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．
因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．