Question

如图，△OAB是边长为2+

3

的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-

1

6

x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标．

Answer 1

分析：（1）当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+

3

，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；
（2）将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；

解答：解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x轴，得△OA′E是直角三角形，
设A′的坐标为（0，b），
AE=A′E=

3

b，OE=2b，

3

b+2b=2+

3

，
所以b=1，
所以A′、E的坐标分别是（0，1）与（

3

，1）．

（2）因为A′、E在抛物线上，
所以

1=c 1=- 1 6 •( 3 )2+ 3 b+c

，
所以

c=1 b= 3 6

，
函数关系式为y=-

1

6

x²+

3

6

x+1，
令y=0得到：-

1

6

x²+

3

6

x+1=0，
解得：x₁=-

3

，x₂=2

3

，
与x轴的两个交点坐标分别是（-

3

，0）与（2

3

，0）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．