Question

如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F．
（1）用尺规作图找到点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若DE=

3

，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）用直尺延长AC，过点D向AC作垂线段和延长线的交点即为点E；
（2）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，则有OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE；
（3）过D作DP⊥AB，P为垂足，过O作OH⊥AD，H为垂足，分别求出三角形ABF和三角形AOD以及扇形DOB的面积，利用S_阴影=

1

2

AB•BF-S_△AOD-S_扇形DOB求解即可．

解答：（1）解：如图所示：

（2）证明：连OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OA，得∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥0D
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：过D作DP⊥AB，P为垂足，过O作OH⊥AD，H为垂足，
∵AD为∠BAC的平分线，DE=

3

，
∴DP=DE=3，又⊙O的半径为，
在Rt△OPD中，OD=2，DP=

3

，得OP=1，则AP=3，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴

DP

FB

=

AP

AB

，
∴BF=

4 3

3

，
∴tan∠FAB=

4 3 3

4

=

3

3

，
∴∠FAB=30°，
∴∠AOD=120°，∠DOB=60°，
∴S_△AOD=

AD•OH

2

=

2 3 ×1

2

=

3

，
∴S_扇形DOB=

60π×2 2

360

=

2π

3

，
∴S_阴影=

1

2

AB•BF-S_△AOD-S_扇形DOB=

1

2

×4×

4 3

3

-

3

-

2π

3

=

8 3

3

-

3

-

2π

3

，
=

5 3

3

-

2π

3

．

点评：本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积的计算．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．