Question

15．设方程：x²+3x-5=0的两个实数根为x₁、x₂，不解方程，求下列代数式的值：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；                                 
（2）${x_1}^2+2{x_1}-{x_2}$．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5，再将原式变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先利用一元二次方程解的定义得到x₁²=-3x₁+5，则原式变形为-（x₁+x₂）+5，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：（1）∵方程：x²+3x-5=0的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-3}{-5}$=$\frac{3}{5}$；

（2）∵x₁为方程x²+3x-5=0的根，
∴x₁²+3x₁-5=0，
∴x₁²=-3x₁+5，
∴${x_1}^2+2{x_1}-{x_2}$=-3x₁+5+2x₁-x₂=-（x₁+x₂）+5=3+5=8．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程解的定义．