题目内容

对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=2AB，BC=2BC，CA=2CA，顺次连接A、B、C，得到△ABC （如图所示），记其面积为S．现再分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=2AB，BC=2BC，CA=2CA，顺次连接A、B、C，得到△ABC，记其面积为S，则S=_____________．

 

 

【答案】

361

【解析】

试题分析：连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求解即可．

解：连接A1C

S△AA1C=3S△ABC=3，

S△AA1C1=2S△AA1C=6，

所以S△A1B1C1=6×3+1=19；

则可得S△A2B2C2=19×19=361，即S=361．

考点：找规律-图形的变化

点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.

 

练习册系列答案
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18、如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；
第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，B2C1=2B1C1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBnCn，则其面积Sn=
19nS
．
如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=
2476099
2476099
．
对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn．
（1）求面积S1；（2）求面积Sn．
阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此继续推理，从而解决了这个问题．

（1）直接写出S1=
19a
19a
（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值．
对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1（如图所示），记其面积为S1．现再分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C11A，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2，则S2=
361
361
．

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