Question

对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁（如图所示），记其面积为S₁．现再分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁₁A，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂，则S₂=

361

．

Answer 1

分析：根据等底的三角形高的比等于面积比推理出△A₁B₁C的面积是△A₁BC面积的2倍，则△A₁B₁B的面积是△A₁BC面积的3倍…，以此类推，得出△A₂B₂C₂的面积．

解答：解：连接A₁C，根据A₁B=2AB，得到：AB：A₁A=1：3，
因而若过点B，A₁作△ABC与△AA₁C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A₁BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A₁BC的面积是2a，
同理可以得到△A₁B₁C的面积是△A₁BC面积的2倍，是4a，
则△A₁B₁B的面积是6a，
同理△B₁C₁C和△A₁C₁A的面积都是6a，
△A₁B₁C₁的面积是19a，
即△A₁B₁C₁的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A₂B₂C₂的面积是△A₁B₁C₁的面积的19倍，
∴S₂=19×19×1=361．
故答案为：361．

点评：此题考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大．