Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上，连接BE、EF．若∠EFC＝90°+∠CBE，BE＝7，EF＝10．则点D到EF的距离为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

连接DE，过D作DG⊥EF于G，由菱形的性质得到AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，从而证得△ABE≌△ADE，进而求得∠CBE＝∠CDE，然后结合题目条件和等量代换求得∠EDG＝∠CDE＝∠FDG，进而用ASA定理证明△EDG≌△FDG，得到ED＝DF，BE＝DF＝7，GE＝EF＝5，然后利用勾股定理求解即可得到结论．

解：连接DE，过D作DG⊥EF于G，则∠DEF+∠EDG＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，

∵AE＝AE，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠CBE＝∠CDE，

∵∠EFC＝∠CDE+∠DEF，∠EFC＝90°+∠CBE，

∴90°+∠CBE＝∠CDE+∠DEF，

∴∠CDE+∠DEF＝90°，

∴∠EDG＝∠CDE＝∠FDG，

∵DG＝DG，∠DGE＝∠DGF＝90°，

∴△EDG≌△FDG（ASA），

∴ED＝DF，

∴BE＝DF＝7，

∴GE＝EF＝5，

∴在Rt△DGE中，DG＝，

∴点D到EF的距离为2，

故答案为：2．