Question

如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．

（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；

（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；

（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．

（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）

Answer 1

       解：

（1）

如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（﹣1，﹣3）．

将B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入抛物线y=x²+bx+c，

解得 b=，c=﹣3，

∴抛物线的解析式为y=x²+x﹣3．

（2）

设l_BC：y=kx+b，

∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），

∴，

解得 ，

∴l_BC：y=﹣3x﹣6，

设M（x_M，﹣3x_M﹣6），N（x_N，x_N²+x_N﹣3），

∵x_M=x_N（记为x），y_M≥y_N，

∴线段MN长度=﹣3x﹣6﹣（x²+x﹣3）=﹣（x+）²+，（﹣2≤x≤﹣1），

∴当x=﹣时，线段MN长度为最大值．

（3）

答：P在抛物线外时，BP²+CP²≥PA²；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP²+CP²≥PA²．

分析如下：

如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB==，

∴BC==，

∴BQ=CQ=，

∵∠BAC=90°，

∴点B、A、C都在⊙Q上．

①P在抛物线外，

如图3，在抛物线外的弧BC上任找一点P，连接PB，PB，PA，

∵BC为直径，

∴BP²+CP²=BC²，BC≥PA，

∴BP²+CP²≥PA²．

②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，

∵AC=AB=，

∴AP=，

∵BP+CP=BC=，

∴BP+CP=AP．

③P在抛物线内，同理①，

∵BC为直径，

∴BP²+CP²=BC²，BC≥PA，

∴BP²+CP²≥PA²．

点评：    本题考查了三角形全等、抛物线图象与性质、函数性质及圆的基础知识，是一道综合性比较强的题目．