Question

4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，连接DC，过点D作DE⊥MN，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DCA=22.5°，DE=6，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE是切线，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）只要证明四边形EDOF是矩形，△OAF是等腰直角三角形，即可即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠DAM=∠OAD，
∴∠DAM=∠ODA，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ODA+∠ADE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：作OF⊥AB于F．
∵∠ODE=∠DEF=∠OFE=90°，
∴四边形EDOF是矩形，
∴OF=DE=6，OD∥EF，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC=22.5°，
∴∠DOA=∠OAF=∠C+∠ODC=45°，
∴△OAF是等腰直角三角形，
∴AF=OF=6，
∵OF⊥AB，
∴AB=2AF=12．

点评 本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OAF是等腰直角三角形，属于中考常考题型．